第二節(jié) 離散趨勢指標(biāo)

離散（dispersion）趨勢指標(biāo)指的是計(jì)量資料所有觀察值偏離中心位置的程度（measures of variation）。描述離散趨勢的主要統(tǒng)計(jì)指標(biāo)有全距（range，R）、方差（variance）、標(biāo)準(zhǔn)差（standard deviation）、變異系數(shù)（coefficient of variation）等。
一、全距
全距又稱極差，以符號(hào)R表示。R等于一個(gè)變量的所有觀察值中最大值（maximum，Max）與最小值（miximum，Max）之間的差值。計(jì)算公式為（368）：R=Max-Max。當(dāng)計(jì)算計(jì)量單位相同的變量時(shí)，全距越大，觀察值的離散程度越大。
如一組燒傷病人的最大燒傷面積為90%TBSA，最小面積為10%TBSA，按公式（368）計(jì)算，R=90-10=80%TBSA。
二、方差
方差是離均差平方和的平均值，方差的大小只與觀察值離散程度有關(guān)，而與觀察值個(gè)數(shù)的多少無關(guān)。樣本方差以符號(hào)S2表示，是總體方差的估計(jì)值，按公式（369）計(jì)算：

式中∑（X-X）2為離均差平方和， n-1為自由度（n′）。因總體方差不易得到，實(shí)際工作中常用樣本方差作為總體方差的估計(jì)。
方差多用于方差分析或兩個(gè)樣本標(biāo)準(zhǔn)差合并計(jì)算之用。如甲組25人，標(biāo)準(zhǔn)差為28，乙組46人，標(biāo)準(zhǔn)差為22，兩組合并標(biāo)準(zhǔn)差公式為（369）：

三、 標(biāo)準(zhǔn)差
根據(jù)上述見解，全距系指一組變量值中最大值與最小值的差；標(biāo)準(zhǔn)差則表示這一組變量值分布的離散程度。為進(jìn)一步說明其離散程度，試看下面這兩組數(shù)據(jù)：
A組：80、90、100、110、120（平均數(shù)=100）
B組：98、99、100、101、102（平均數(shù)=100）
這兩組數(shù)值的均數(shù)都是100，但是變量值的波動(dòng)范圍卻有很大差別，A組數(shù)據(jù)最大值與最小值之差（全距）為40(120～80)，B組數(shù)據(jù)最大值與最小值之差（全距）為4(102～98)。由此可見，A組數(shù)據(jù)的波動(dòng)范圍比B組大得多。故均數(shù)不能完全說明事物內(nèi)部的實(shí)質(zhì)，需要用標(biāo)準(zhǔn)差來綜合分析。目前認(rèn)為反映數(shù)據(jù)精確度較為完善的指標(biāo)就是標(biāo)準(zhǔn)差。
又如：甲組5例病人的燒傷總面積分別為90%、80%、70%、21%、9%TBSA，平均為54%TBSA；乙組5例病人的燒傷總面積分別為100%、49%、49%、36%、36%TBSA，平均值也為54%TBSA，但甲組特重度病人有3例，乙組僅有1例。兩組均值雖然相等，但并無同質(zhì)性和可比性，同時(shí)也可看出標(biāo)準(zhǔn)差的重要性。因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差是一個(gè)個(gè)體數(shù)據(jù)偶然性波動(dòng)大小的標(biāo)準(zhǔn)尺度，標(biāo)準(zhǔn)差大，表示個(gè)體數(shù)據(jù)波動(dòng)性大，標(biāo)準(zhǔn)差小，表示個(gè)體數(shù)據(jù)波動(dòng)性小。
四、標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算
1直接計(jì)算公式（3610）：

S為標(biāo)準(zhǔn)差，∑Χ2為變量值平方后的和，（∑x）2是變量值總和后的平方，n為變量個(gè)數(shù)。
示例365：測得9例創(chuàng)面出血病人的血小板數(shù)量分別為：30、50、40、40、50、40、30、50、149（×109/L），求它們的標(biāo)準(zhǔn)差。
【解題步驟】
先分別求出公式（3610）中的∑Χ2和（∑Χ）2/n，及n-1值，然后代入公式。
因?yàn)?sum;Χ2為變量值平方后的和，即：
∑Χ2=302+502+402+402+502+402+302+502+1492=36301
［（∑Χ）2］/n=（30+50+40+40+50+40+30+50+149）2/9=254934
（n-1）為（9-1）=8
代入公式（3610），得：

答：9例創(chuàng)面出血病人的血小板標(biāo)準(zhǔn)差為36755×109/L。
2大樣本加權(quán)法公式
計(jì)算大樣本資料，應(yīng)繪制頻數(shù)表資料，根據(jù)公式（3611）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差：

式中∑fX為各組段X與本組段頻數(shù)乘積之和，∑fΧ2為各組段fx與本組段X乘積之和。
示例366仍以例362為例，即某院調(diào)查了110例特重度燒傷病人的血液血紅蛋白含量，其濃度范圍在115～150 g/L之間，求其標(biāo)準(zhǔn)差。
【解題步驟】
根據(jù)表362中提供的數(shù)據(jù)，將(∑f)=110、(∑fX)=13194、(∑fΧ2)=1584990代入公式（3611），得：

結(jié)果：110例燒傷病人的血紅蛋白標(biāo)準(zhǔn)差為472g/L。
五、變異系數(shù)
在統(tǒng)計(jì)學(xué)上將變量值間的差異稱為變異，表明這種變異的指標(biāo)有全距、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)。如上所述，標(biāo)準(zhǔn)差的作用是用來確定兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度，一般情況下，哪一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差大，哪一組的數(shù)據(jù)波動(dòng)范圍也大；哪一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差小，其波動(dòng)范圍也小。但是，當(dāng)比較不同類型的數(shù)據(jù)時(shí)，如身長與體重，或兩個(gè)平均數(shù)相差較大時(shí)，若直接用標(biāo)準(zhǔn)差判斷它們的波動(dòng)程度就不妥當(dāng)了，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差只能反映絕對(duì)波動(dòng)大小，不能反映相對(duì)波動(dòng)大小。這種表達(dá)相對(duì)數(shù)波動(dòng)大小的指數(shù)稱為變異系數(shù)，用cv或ν表示。該指標(biāo)也可理解為用百分比表示的標(biāo)準(zhǔn)差，即標(biāo)準(zhǔn)差（s）與均數(shù)（X）之比。其公式為（3612）：

示例367某院調(diào)查了7歲男孩身高均數(shù)為12116cm，標(biāo)準(zhǔn)差為431cm，胸圍均數(shù)5771cm，標(biāo)準(zhǔn)差為282cm。比較兩者的變異程度。
【解題步驟】
根據(jù)公式（3612），分別求身長變異系數(shù)和胸圍變異系數(shù)：

答：本例身長均數(shù)明顯大于胸圍均數(shù)，若與標(biāo)準(zhǔn)差直接比較，胸圍的變異系數(shù)似乎小于身長，但經(jīng)過變異系數(shù)計(jì)算，結(jié)論為胸圍的變異程度并不比身長變異程度小。由此可見，身長的變異程度比胸圍穩(wěn)定。
六、標(biāo)準(zhǔn)誤
因?yàn)榫鶖?shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤與樣本標(biāo)準(zhǔn)差相似，都是說明離散程度的指標(biāo)，故在此作一介紹。變異系數(shù)均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤有兩種，一種是總體標(biāo)準(zhǔn)誤，一種是樣本標(biāo)準(zhǔn)誤。總體標(biāo)準(zhǔn)誤（σx）和樣本標(biāo)準(zhǔn)誤（sx、SE、SEM）是表示均數(shù)誤差程度的指標(biāo)。在醫(yī)學(xué)研究中，常在總體中抽出一部分作為樣本，然后再根據(jù)樣本的觀察結(jié)果推論總體情況。但是，由于在同一總體中的個(gè)體之間必然存在著差異（如同是50%TBSA燒傷），樣本均數(shù)與總體均數(shù)之間存在差異，各個(gè)樣本均數(shù)之間必然產(chǎn)生差異，謂之標(biāo)準(zhǔn)誤（sx），是由抽樣引起的。標(biāo)準(zhǔn)誤越小，說明樣本均數(shù)與總體均數(shù)越接近，用樣本均數(shù)推論總體均數(shù)的可能性越大；反之，標(biāo)準(zhǔn)誤越大，說明用樣本均數(shù)推論總體均數(shù)的可能性越小。故均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤是測定樣本均數(shù)變異范圍的尺度。在醫(yī)學(xué)資料中，常用樣本均數(shù)±標(biāo)準(zhǔn)誤的形式（x±sx）表示資料的可靠程度。一般來說，在x±1×sx的范圍內(nèi)，總體均數(shù)出現(xiàn)的概率為683%；在x±2×sx的范圍內(nèi)，總體均數(shù)出現(xiàn)的概率為95%，或者說有95%以上的把握可認(rèn)為總體均數(shù)在這個(gè)范圍之內(nèi)，也可認(rèn)為重復(fù)同樣實(shí)驗(yàn)100次，得出100個(gè)均數(shù)，會(huì)有95%以上的均數(shù)分布在x±2×sx的范圍內(nèi)。公式（3613）為：

sx為標(biāo)準(zhǔn)誤，s為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，n為樣本個(gè)數(shù)。
示例368某院抽查了100例病人的血液紅細(xì)胞數(shù)量，其樣本均值為50×109/L，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為246×109/L，求其標(biāo)準(zhǔn)誤。
【解題步驟】
根據(jù)公式（3613），求得：

答：本例樣本標(biāo)準(zhǔn)誤為0246（×109/L），資料的可靠程度為50±0246（×109/L）。
七、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、標(biāo)準(zhǔn)誤的應(yīng)用
1表示正常范圍如體溫、脈搏，血壓，紅細(xì)胞，白細(xì)胞等正常值等計(jì)算均需要標(biāo)準(zhǔn)差的參與。正常值范圍一般是以平均數(shù)±2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差作為劃定界限，現(xiàn)以紅細(xì)胞為例說明這個(gè)問題。如我們所求得的健康男子紅細(xì)胞平均值為50×109/L，標(biāo)準(zhǔn)差為25×109/L，則正常男子紅細(xì)胞的正常值可定為50±2×25，即45×109/L～55×109/L范圍內(nèi)。但應(yīng)注意，在應(yīng)用此方法時(shí)，變量的分布必須是正態(tài)分布，如屬于非正態(tài)分布者，應(yīng)采取其他方法計(jì)算。
2估計(jì)受試對(duì)象所需樣本數(shù)
（1）利用標(biāo)準(zhǔn)誤公式推算樣本數(shù)：
示例369某醫(yī)院測定了80名嚴(yán)重?zé)齻颊咴缙谘杭◆–r）含量，測定結(jié)果：均數(shù)（x）=1548μmmol/L，標(biāo)準(zhǔn)差(s)=158μmmol/L ，標(biāo)準(zhǔn)誤=1778μmmol/L， 即目前95%的置信限為1548±354μmmol/L ，欲求95%的置信限在158±20μmmol/L的范圍內(nèi)，需要觀察多少例才能出現(xiàn)這種結(jié)果?
【解題步驟】
①根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)誤計(jì)算公式(3613)推算樣本數(shù)（n），公式為(3614)：

②因?yàn)?5%的置信限為x±2×sx，今求2×sx=20，即sx=10。把有關(guān)數(shù)據(jù)代入公式（3614），得：

③結(jié)論：若把觀察人數(shù)增加到250人，可能使置信限范圍達(dá)到1548±20μmol/L 。
（2）利用兩合并標(biāo)準(zhǔn)差推算樣本數(shù)：
示例3510某醫(yī)生用某藥治療粒細(xì)胞減少癥，為觀察某藥物用口服方法及肌肉注射方法對(duì)最高療效出現(xiàn)時(shí)間(天)的影響。根據(jù)預(yù)備試驗(yàn)結(jié)果，口服法最高療效出現(xiàn)的平均時(shí)間為222天，肌肉注射法為175天，合并標(biāo)準(zhǔn)差(s)為1391天。問各組需觀察多少例才能使兩組均數(shù)的差異有顯著意義?   
【解題步驟】
①本例是兩個(gè)樣本平均數(shù)作比較的資料，當(dāng)兩組樣本相等時(shí)，其樣本大小的估計(jì)公式為（3615）：

 n=每組例數(shù)，t005=表中查出的標(biāo)準(zhǔn)值，s=合并標(biāo)準(zhǔn)差，x1-x2=兩組均數(shù)差。
②當(dāng)n≥30時(shí)，查表得出t005=20，因x1-x2=475，s=1391，代入公式（3615）：

③結(jié)論：每組需要觀察69例才能使兩組均數(shù)差異有顯著意義。